Nh

ững vinh quang sau khi đã qua đờ

i

Ở

châu Âu đến thế kỉ 16, khoa học tự nhiên đã phát triển rấ

t nhanh

chóng. Truy

ền thuyết tôn giáo cho rằng, thượng đế sinh ra thế giớ

i và

trái

đất có hình vuông. Những phát kiến về địa lý củ

a Christophe

Columb (1451-20.5.1506), Fernand de Magellan (1480-1521) và nh

ữ

ng

ng

ười khác đã chứng minh đầy đủ rằng, trái đất có hình cầu, đ

ó là

đ

iều không thể chối cãi đượ

c.

Phát minh v

ề vật lý của G.Galilei đã đem lại cho nhân loại những nhậ

n

th

ức mới về vũ trụ. Toán học được suy tôn là „nữ hoàng“ của khoa học t

ự

nhiên. T

ừ thế kỉ 16 đến thế kỉ 18, đã xuất hiện hàng loạt nhà toán học kiệ

t

xu

ất, họ đã đưa nền toán học lên một đỉnh cao mới. Sự xuất hiện phươ

ng

pháp to

ạ độ, ứng dụng của số phức, sáng tạo ra vi-tích phân, ... đã kết hợ

p

nghiên c

ứu thế giới khách quan trong trạng thái tĩnh và động. Vào thời gian đó, cả châu Âu đã b

ỏ

l

ại đằng sau sự trì trệ của thời trung cổ. Trong tiến trình phát triển đó, toán học luôn đ

i tiên

phong.

Nh

ưng ở nhánh phương trình đại số thì tình hình lại không như vậy. Do cuộc thách đố chấn độ

ng

c

ả giới toán học vào đầu thế kỉ 16, người ta đã tìm ra được cách giải phương trình bậ

c 3 và 4.

T

ừ giữa thế kỉ 16 trở đi, người ta người ta bắt đầu đi nghiên cứu sâu phương trình bậ

c 5. Các

nhà toán h

ọc đã phân tích tỉ mỉ cách giải phương trình từ bậc 2 đến bậc 4. Nếu một phươ

ng trình

có nghi

ệm viết được bằng công thức đại số của các hệ số thì được gọi là phương trình giải đượ

c

b

ằng căn thức. Trước thời R. Bombelli và F.Viete người ta đã xác định được công thức tổ

ng quát

để

tính nghiệm của phương trình từ bậc 1 đến bậ

c 4.

Không bao lâu, sau khi gi

ải được phương trình bậc 3 thì phương trình bậc 4 tổng quát cũ

ng có

cách gi

ải đại số. Việc giải phương trình bậc 4 tổng quát quy về việc giải phương trình bậ

c 3 liên

k

ế

t.

N

ăm 1540 Zuanne de Tonini da Coi người Italia đã đề nghị G. Cardano giải bài toán dẫn đế

n

ph

ương trình bậc 4 nhưng G. Cardano không giải được và sau đó G. Cardano đã công bố

cách

gi

ải này trong cuốn „ Ars magna“ củ

a ông.

Cách gi

ải của L.Ferrari viết gọn theo cách ký hiệu hiện nay như sau. Biến đổi đơn giản sẽ

quy

m

ột phương trình bậc 4 chính tắc ( đầy đủ) về dạ

ng x (1)

T

ừ (1) biến đổi được x^4+2px^2+p^2=px^2-qx-r+p^2 (2) hoặ

c (x^2+p)^2=px^2-qx+p^2-r (3)

V

ới y bất kỳ, từ

(3) ta có (x^2+p+y)^2=px^2-qx+p^2-r+2y(x^2+p)+y^2

=(p+2y)x^2-qx+(p^2-r+2py+y^2) (4)

Bây gi

ờ ta chọn y để vế phải của (4) là một bình phương. Đây là trường hợ

p khi 4(p + 2y) (p – r –

2py +y^2) – q = 0 (5)

Ph

ương trình (5) là phương trình bậc 3 của y đã có cách giải. Một giá trị của y như vậy sẽ

quy

ph

ương trình bậc 4 lúc đầu về việc chỉ phải lấy các căn bậ

c 2.

M

ột cách khác bằng đại số giải phương trình bậc 4 được F. Viete đề xuất một cách nữa, đượ

c R.

Descartes

đưa ra năm 1637 nhưng trong nhiều sách giáo khoa đại học đã có thì cách giải củ

a F.

Viete c

ũng giống như cách giải củ

a L. Ferrari.

Niels Henrik Abel

Nhà toán h

ọc Vanmec người Tây Ban Nha cũng đã giải được phương trình bậc 4 nhưng tên bạ

o

chúa Tuocmacvada

đã thiêu chết ông, vì theo hắn ông đã làm trái ý trời : phương trình bậ

c 4

không h

ợp với khả năng của người trần tục – đó là ý muốn của trờ

i !

Vì vi

ệc giải phương trình bậc 4 tổng quát được thực hiện tuỳ thuộc vào việc giải một phươ

ng

trình b

ậc 3 liên kết, nên năm 1750 L. Euler đã cố gắng làm điều tương tự là quy việc giải phươ

ng

trình b

ậc 5 tổng quát về phép giải phương trình bậc 4 liên kết nhưng đã thất bạ

i.

R

ất nhiều nhà toán học cũng đã vắt óc tìm kiếm cách giải phương trình bậc 5 nhưng không đ

i

đế

n kết quả. Trước tình hình đó, người ta bắt đầu hoài nghi là liệu có tồn tại hay không mộ

t công

th

ức tính nghiệm của phương trình bậc 5 tổ

ng quát !

N

ăm 1778, nhà toán học J.L. Lagrange đã mở được đầu mối quan trọng. Ông đã tậ

p trung tìm

ki

ếm công thức chung để giải các phương trình từ bậc 2 đến bậc 4 vì ông cho rằng , nế

u tìm

đượ

c công thức chung đó thì sẽ suy luận để tìm được cách giải phương trình bậc 5. Nhưng cuố

i

cùng ông

đã phát hiện thấy nghiệm của một phương trình đã biết có thể được biểu thị bằng mộ

t

hàm s

ố đối xứng của một phương trình hỗ trợ khác. Phương trình hỗ trợ này được ông gọ

i là

cách gi

ải dự kiến. Dùng cách giải dự kiến này, ông đã sử dụng để giải được phương trình bậ

c 3,

b

ậc 4 nhưng đến phương trình bậc 5 thì ông đành chịu. Một tia sáng lại loé lên trong đầ

u ông :

Công th

ức như vậy không thể tồn tại được, nhưng ông lại không chứng minh được điề

u này.

Ph

ương pháp tổng quát biến đổi một phương trình đa thức bậc n đối với x thành một phươ

ng

trình b

ậc n đối với y, trong đó các hệ số của yn-1 , yn-2 đều bằng 0 đượ

c E.W von Tschirnhausan

(1651-1708)

đưa ra. Về sau phép biến đổi phương trình bậ